НОВЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ КАК АЛЬТЕРНАТИВА ИНТЕРВАЛЬНЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

В.П.Федотов

Северо-Западный институт печати

Abstract - Some new numeral systems were constructed last years by the author and his students. They are based on information principle: every next bit gives new information about position of number on numeral axe. So these systems are very commode for interval analysis.

 


В числе атрибутов того или иного этапа развития человеческой цивилизации можно указать на диапазон чисел, востребованных этой исторической эпохой. Соответственно развиваются языковые средства (прежде всего, количественные числительные) и способы записи чисел – системы счисления.

До наших дней остались в употреблении римские цифры. Анализ возможностей представления чисел с их помощью явно указывает на то, что древним римлянам практически не приходилось иметь дело с числами, значительно превышавшими 1000.

К концу XX века этот диапазон достиг 1099. С одной стороны, именно таков предел для представления чисел в компьютерах и микрокалькуляторах (если не прибегать к специальным ухищрениям). С другой, лишь «чуть-чуть меньше» (около 1082) оценка для числа элементарных частиц во вселенной. Поэтому естественные науки никогда не потребуют чисел вне этого диапазона, а ни «традиционная» техника, ни экономика к его границе пока даже и не приближаются.

Но, между тем, рубеж тысячелетий стал рубежом исторических эпох. Наступившее время характеризуется, в первую очередь, тотальным внедрением компьютерной техники во все сферы человеческой жизни.

Соответственно возникает потребность и в резком расширении диапазона чисел. Ее стимулируют теоретические исследования в области информатики, криптографии и ряда смежных дисциплин, а также борьба с катастрофической потерей точности, часто возникающей в процессе вычислений. Встал вопрос и о новых системах счисления.

Основатель теории информации Джон фон Нейман доказал теорему о том, что среди всех основных позиционных систем счисления именно троичная система счисления позволяет наиболее эффективно сворачивать информацию о вещественном числе. Этот факт базируется на том, что среди целых чисел именно 3 ближе всех к основанию натуральных логарифмов e»2.718. Однако названный эффект можно усилить, если вместо традиционных систем счисления использовать более сложные конструкции башенных [5], итерационных [1] и интервальных [6] систем, построенные автором этого доклада и моими учениками.

В отличие от традиционных, только что  упомянутые системы счисления базируются на информационном принципе: каждый очередной бит последовательно уточняет информацию о месте числа на числовой оси [7]. Это становится важным, например, при параллельных вычислениях: первые цифры числа можно передавать очередному этапу алгоритма еще задолго до того, как найдены последующие цифры. При традиционной же записи числа первые цифры вообще не несут никакой информации о величине числа до тех пор, пока неизвестен его порядок. Однако все последующие цифры вполне соответствуют этому требованию.

Первый бит информации о числе, чаще всего, совпадает с его знаком. Он служит ответом на вопрос о сравнении числа с нулем. В качестве второго бита разумно взять знак порядка (то есть, знак логарифма, причем совершенно безразлично, идет ли речь о  натуральных, десятичных, двоичных логарифмах, либо по другому основанию, большему 1). Этот бит служит ответом на вопрос о сравнении положительного числа с 1 или отрицательного числа с –1.

Ясно, что и в качестве последующих битов записи числа можно брать ответ на вопрос о сравнении данного числа с числами из некоторой последовательности. Проблема лишь в том, как задать саму эту последовательность. При этом алгоритм формирования последовательности следует выбрать заранее, хотя конкретные ее члены будут строиться в зависимости от числа.

Чтобы таким способом получить какую-либо итерационную систему счисления [1], в качестве чисел для сравнения надо взять корни последовательных итераций нужной монотонной функции. В частности, если эта функция – логарифм, основание которого не меньше e1/e»1.44 , то получится башенная система счисления [5].

Именно башенные системы счисления позволяют убить сразу двух зайцев. Во-первых, они лучше всего усиливают эффект названной теоремы Джона фон Неймана. Во-вторых, сравнительно небольшим количеством цифр они позволяют записать числа, абсолютная величина которых пока еще не доступна не только словесной формулировке, но даже и весьма богатому воображению.

Несколько примеров систем счисления, реализующих описанную конструкцию (в том числе, золотая система счисления [3] и уравновешенная троичная информационная система счисления [4]), были построены в самые последние годы.

Еще одна новая возможность – задание одной последовательностью цифр не числа, а пары чисел, то есть интервала на числовой прямой. Следует особо подчеркнуть, что речь здесь идет о произвольных интервалах, а не только о тех, границами которых служат узловые точки системы счисления.

Тем самым появляется новый язык для мягких вычислений и, в особенности, для интервального анализа [2]. Это направление вычислительной математики, соединившее классическую технику приближенных вычислений с идеями Л.А.Заде [8] и его последователей, получило особенно бурное развитие в последней четверти XX века.

Конечно, результативное использование новых систем счисления требует разработки алгоритмов выполнения базовых операций и вычисления функций от чисел, заданных в таком виде. Решение этой задачи потребует немного лет. В самом крайнем случае, цель будет достигнута путем создания таблиц. 


                                                                        Литература                        

  1. Баранова Н.В., Федотов В.П. Итерационные системы счисления. // Сб. «Актуальные проблемы современной науки». Ч. 1. – Самара, 2001, с. 21.
  2. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. // Новосибирск: Наука, 1986.
  3. Кравченко А.А., Кравченко С.П. Золотая система счисления. // В сб. «Актуальные проблемы современной науки». Ч. 1. – Самара, 2001. – с. 38.
  4. Кравченко Ю.А. Информационная уравновешенная троичная система счисления.  // В сб. «Актуальные проблемы современной науки». Ч. 1. – Самара, 2002. – с. 98.
  5. Федотов В.П. Башенные системы счисления. // Сб. «Информационные технологии в образовании». – СПб, РГПУ, 1998.
  6. Федотова М.В., Федотов В.П. Интервальные системы счисления. // Сб. «Актуальные проблемы современной науки». Ч. 1. – Самара, 2001, с. 55.
  7. Федотова М.В. Информационные системы счисления. – В сб. «Межд. конф. Юниор-2001». М., МИФИ, 2001.
  8. Zadeh L.A. Fuzzy sets. // Information and Control. – 1965. –  8, 3, 338-353.